「6」にまつわる秘話

6 という数字は実に不思議です。そのいくつかを紹介します。

非可換群が現れる最小の位数

位数が 1 〜 5 までの有限群の同型類は可換群しか現れません。しかし 6 になって非可換群が登場します。ちなみにそれは 3 次対称群 に同型です。

6 次の Euler 方陣は存在しない

Euler 方陣については以前触れましたが、6 次の Euler 方陣は存在しないことが知られています。

6 次の魔方陣は存在する

6 次の Euler 方陣が存在しないにもかかわらず、6 次の魔方陣は昔から知られていました(ex. 久留島の魔方陣)。

6 次対称群の自己同型群は自身に同型でない

のとき、 の自己同型群は自分自身に同型になりますが、6 次対称群では成り立ちません。

面の形が正六角形であるような正多面体は存在しない

証明こそ簡単ですが、言われてみると不思議です。

一つの頂点に 6 個の面が集まる正多面体は存在しない

これも証明は簡単ですが、やはり不思議です。