極値探し - Red cat の数学よもやま話

d:id:rena_descarte:20060925:1159116048 にて
$f(x,y)=x^3+xy+y^3-x^2y^2$
なる関数に極値がありそうだ、という話になっていたので、今更ながら Maxima など使って計算してみました。いや、別に手計算でも良かったんですが(^^;)。
$f_x(x,y)=3x^2+y-2xy^2,f_y(x,y)=x+3y^2-2x^2y$
と出ました。で $f_x(x,y)=0,f_y(x,y)=0$ を連立させて解くと
$(x,y)=(0,0),(\frac{3\sqrt{17}-13}{2\sqrt{17}-6},-\frac{\sqrt{17}-3}{4}),(\frac{3\sqrt{17}+13}{2\sqrt{17}+6},\frac{\sqrt{17}+3}{4})$
なる実数解の組を発見。x の値を有理化してみると
$(x,y)=(0,0),(\frac{3-\sqrt{17}}{4},\frac{3-\sqrt{17}}{4}),(\frac{3+\sqrt{17}}{4},\frac{3+\sqrt{17}}{4})$
であることが判明。そこで
$a=\frac{3-\sqrt{17}}{4},b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$
とおいて話を進めることに。
$f_{xx}(x,y)=6x-2y^2,f_{xy}=1-4xy,f_{yy}=6y-2x^2$
で
$D(x,y)=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-f_{xy}(x,y)^2$
とおくと
$D(0,0)=-1\lt 0,D(a,a)=\frac{-459+117\sqrt{17}}{8}\gt 0,\\D(b,b)=-\frac{459+117\sqrt{17}}{8}\lt 0$
であることが分かる。つまり $(x,y)=(a,a)$ のところで極値を取っていることが分かった。
$f_{xx}(a,a)=\frac{5-3\sqrt{17}}{4}\lt 0$
故、 $(x,y)=(a,a)$ では $f(x,y)$ は極大で
$f(a,a)=\frac{71-17\sqrt{17}}{32}$
だそうで。うーん、Maxima って便利。だんだん手計算しなくなったりして(ぉ