カオス現象(その 1) - Red cat の数学よもやま話

$\frac{dx}{dt}=(b-cx)x$ … (*)
という微分方程式を考えてみます。これは 1 階の微分方程式で変数分離形なので解析的に解くことができます。実際、初期値を $x(0)=x_0$ とすると
$x(t)=\frac{bx_0 e^{bt}}{b+cx_0(e^{bt}-1)}$
となります。ところで、(*) を Euler 法で近似的に解くことを考えてみましょう。微小の刻み幅 $h$ を固定して考えると
$\frac{x(t+h)-x(t)}{h}=(b-cx(t))x(t)$
で、 $1+bh=a,\frac{ch}{1+bh}x(t)=y(t)$ とおいて整理すると
$y(t+h)=ay(t)(1-y(t))$
となります。そこで $y_0=y(0)=\frac{ch}{1+bh}x_0$ から始めて $y_n=y(nh)$ とおくと
$y_{n+1}=ay_n(1-y_n)$
という漸化式を得ます。この漸化式が実に興味深い挙動を見せてくれるのですが、続きはまたの講釈で。