圏論への誘い(その 4) - Red cat の数学よもやま話

今しばらくは、一つの圏 $\mathcal{C}$ の中だけで話をすることにします。

単射、全射、同型射

$m\in\hom(a,b)$ が単射(mono)であるとは、任意の対象 $c\in O(\mathcal{C})$ と任意の射 $f_1,f_2\in\hom(c,a)$ に対して
$m\circ f_1=m\circ f_2\Rightarrow f_1=f_2$
が成り立つことを言います。
$e\in\hom(a,b)$ が全射(epi)であるとは、任意の対象 $c\in O(\mathcal{C})$ と任意の射 $g_1,g_2\in\hom(b,c)$ に対して
$g_1\circ e=g_2\circ e\Rightarrow g_1=g_2$
が成り立つことを言います。
$f\in\hom(a,b)$ が同型射であるとは、 $g\in\hom(b,a)$ で
$g\circ f={\rm id}(a),f\circ g={\rm id}(b)$
が成り立つものが存在することを言います。この $g$ は $f$ に対して一意に定まるので、 $f^{-1}$ と書くこともあります。また、同型射 $f\in\hom(a,b)$ が存在するとき、二つの対象 $a,b$ は同等であると言います。
これらの定義から、同型射は単射かつ全射ですが、単射かつ全射であっても同型射になるとは限りません。例えば(小さな)位相空間と連続写像の圏 ${\rm Top}$ や、(小さな)環と環準同型の圏 ${\rm Rng}$ などにおいて、単射かつ全射であって同型射でないものの例が作れます。

始対象と終対象の同等性

前回、始対象と終対象を定義しました。これらは必ず存在するとは限りませんが、存在すれば、それらは互いに同等であることが証明できます。
$i_1,i_2$ を二つの始対象とします。このとき始対象の性質から
$\hom(i_1,i_1)=\{{\rm id}(i_1)\},\hom(i_2,i_2)=\{{\rm id}(i_2)\},\\\hom(i_1,i_2)=\{f\},\hom(i_2,i_1)=\{g\}$
です。そして $g\circ f\in\hom(i_1,i_1),f\circ g\in\hom(i_2,i_2)$ ですから、必然的に
$g\circ f={\rm id}(i_1),f\circ g={\rm id}(i_2)$
が成り立つことになり、 $f,g$ は同型射、したがって $i_1,i_2$ は同等です。終対象の場合も全く同様に証明できます。