ポアンカレ予想を困難にさせていたもの(続き)

先日の記事に頂いたコメントに、この場を借りてお返事。

id:kai-kimiyoshi 様

Whitehead の定理とは、この文脈では

X , Y を高々 n 次元の多面体とし、f : X → Y を連続写像とする。f が導くホモトピー群の準同型写像 $f_*:\pi_i(X)\to\pi_i(Y)$ が $1\leq i\leq n$ に対して同型であるならば、f はホモトピー同値である。

を意味しています。証明は小松・中岡・菅原著「位相幾何学 (1) (現代数学 6)」(岩波書店)に載っています。

id:elb_phys 様

参考書としては本間著「組合せ位相幾何学」(共立全書 231)が挙げられますが、おそらく入手困難と思われますので、詳細を書いておきます。Hurewicz 同型
$h:\pi_3(M,x_0)\to H_3(M;\mathbb{Z})$
による $H_3(M;\mathbb{Z})$ の生成元 α の逆像 $h^{-1}(\alpha)$ を $[f]$ とおきます(ただし $f:(S^3,p)\to(M,x_0)$ )。
$\pi_3(S^3,p)\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}$ の生成元は恒等写像 $1:(S^3,p)\to(S^3,p)$ のホモトピー類 $[1]$ で与えられ、定義により $f_*[1]=[f]$ なので
$f_*:\pi_3(S^3,p)\to\pi_3(M,x_0)$
は同型。また、1 次と 2 次のホモトピー群は自明なので、
$f_*:\pi_i(S^3,p)\to\pi_i(M,x_0)$
は $i = 1, 2$ に対しても同型。故に Whitehead の定理により $f$ はホモトピー同値写像となります。