集合論の公理系(その 12) - Red cat の数学よもやま話

前回、二つの集合 a , b の直積 $a\times b$ を定義しました。今回は、それを用いて、対応・写像・関係のお話をします。

対応と対応の合成、逆対応

二つの集合 a , b に対して、 $a\times b$ の部分集合、すなわち $\mathcal{P}(a\times b)$ の元を、a から b への対応と言います。 $t\subseteq a\times b$ を対応とし、 $a'\subseteq a$ とするとき
$t(a')=\{y\in b|\exists x\in a'(\langle x,y\rangle\in t)\}$
なる集合を $a'$ の t による像と言います。
さて、 $s\subseteq a\times b,t\subseteq b\times c$ なる対応があるとき、
$t\circ s=\{\langle x,z\rangle\in a\times c|\exists y\in b(\langle x,y\rangle\in s\wedge\langle y,z\rangle\in t)\}$
なる新しい対応が定義できます。これを対応の合成と言います。また、対応 $t\subseteq a\times b$ に対し
$t^{-1}=\{\langle y,x\rangle\in b\times a|\langle x,y\rangle\in t\}$
を t の逆対応と言います。

写像

さて、対応の中でも特に
$\{f\in\mathcal{P}(a\times b)|(\forall x\in a)(\exists!y\in b)(\langle x,y\rangle\in f)\}$
なるものが特に重要です。上の集合を $b^a$ と書き、 $f\in b^a$ のことを a から b への写像と言います。このとき、 $x\in a$ に対して、 $\{x\}$ の像はただ一つの要素からなります。そこで $y\in f(\{x\})$ なる y のことを f(x) と書いたりします。写像の合成は対応の合成によって定義し、また写像 f の逆対応による $\{y\}(y\in b)$ の像 $f^{-1}(\{y\})$ を y の逆像と言い、これを単に $f^{-1}(y)$ と書いたりします。