集合論の公理系(その 13)

数学・基礎論

同値関係と商集合

前回、集合 a 上の関係と、特に重要な関係として同値関係を定義しました。今、a 上の同値関係 r が与えられたとき、x\in a に対して
\bar{x}=\{y\in a|\langle x,y\rangle\in r\}
と定義すると、\bar{x}\subseteq a です。そして

  1. \bar{x}=\bar{y}\leftrightarrow\langle x,y\rangle\in r
  2. \bar{x}\neq\bar{y}\to\bar{x}\cap\bar{y}=\emptyset

が成り立ちます。そこで \mathcal{P}(a) の部分集合である
\{\bar{x}\in\mathcal{P}(a)|x\in a\}
のことを a の(同値関係 r による)商集合と言います。\langle x,y\rangle\in r であることを x\sim y と表すのが普通なので、この商集合は通常 a/\sim なる記号で書かれます。