集合論の公理系(その 14) - Red cat の数学よもやま話

もう少しだけ、分出公理図式の話にお付き合いください。その前に、補題を一つ証明しておきます。

補題

$\langle x,y\rangle\in t\to x\in\cup\cup t\wedge y\in\cup\cup t$

(証明)
和集合の定義により
$\begin{array}{ccl}z\in\cup\cup t&\leftrightarrow&\exists v(v\in\cup t\wedge z\in v)\\&\leftrightarrow&\exists v(\exists w(w\in t\wedge v\in w)\wedge z\in v)\end{array}$
が成り立つ。一方 $\langle x,y\rangle=\{\{x\},\{x,y\}\}$ により

$(\langle x,y\rangle\in t\wedge\{x\}\in \langle x,y\rangle)\wedge x\in\{x\}$
$(\langle x,y\rangle\in t\wedge\{x,y\}\in \langle x,y\rangle)\wedge y\in\{x,y\}$

だから $x\in\cup\cup t\wedge y\in\cup\cup t$ となる。

定義域と値域

上記補題を元に、分出公理図式で
$u=\cup\cup t,\psi(x)\equiv\exists y(\langle x,y\rangle\in t)$
とおくことで
${\rm Dom}(t)=\{x\in u|\exists y(\langle x,y\rangle\in t)\}$
なる集合の存在が保証されます。これを t の定義域と言います。また、同様に分出公理図式で
$u=\cup\cup t,\psi(y)\equiv\exists x(\langle x,y\rangle\in t)$
とおくことで
${\rm Rng}(t)=\{y\in u|\exists x(\langle x,y\rangle\in t)\}$
なる集合の存在が保証されます。これを t の値域と言います。もし t が a から b への対応ならば
${\rm Dom}(t)\subseteq a,{\rm Rng}(t)\subseteq b$
となることは、練習問題として残しておきます。