集合論の公理系(その 15) - Red cat の数学よもやま話

正則性公理

さて、 $t\in t$ なる集合の存在は、Russel の逆理と密接に関係するなど、いろいろと厄介な事情を引き起こします。出来るなら、そのような集合はない方がありがたいものです。そこで、そのような集合が存在しないことを保証するための公理が、正則性公理です。

正則性公理

$\forall a(a\neq\emptyset\to\exists x\in a(x\cap a=\emptyset))$

定理: $\forall x(x\not\in x)$

(証明)
$t\in t$ なるものが存在したとする。 $\{t\}\neq\emptyset$ だから、正則性公理により
$\exists x\in\{t\}(x\cap\{t\}=\emptyset)$
となるはずである。ここで、 $x\in\{t\}$ なる x は t しかないので
$t\cap\{t\}=\emptyset$
でなければならないが
$t\in t\cap\{t\}=\emptyset$
となり矛盾する。
これでめでたく、 $t\in t$ なる集合の存在は(正則性公理によって)否定されたことになります。
さて、今、集合 x に対して、新しい集合 $x^+=x\cup\{x\}$ を定義します。このとき $x^+\neq x$ となります。なぜならば、 $x^+=x$ とすると
$x\in x\cup\{x\}=x^+=x$
となって、上記の定理に反するからです。

練習問題: $\neg\exists x\exists y(x\in y\in x)$
ヒント: $a=\{x,y\}$ が正則性公理の反例となることを示せ。