自然数から整数へ、そして有理数へ(その 4)

$A$ を集合、 $n$ を自然数とするとき、集合 $A^{n^+}$ を次のように定義します。

$A^{0^+}=A^1=A$
$A^{(n^+)^+}=A^{n^+}\times A$

ちなみに $A^1=A$ の同一視は $1=\{0\}$ から $A$ への写像 $f$ について、 $f$ は $f(0)\in A$ によって決定されるため、この両者を同一視することによって決めます。こうすると、たとえば $A^{1^+}=A^{(0^+)^+}=A^{0^+}\times A=A\times A$ となります。 $m\leq n$ のとき、自然に $A^{m^+}\subseteq A^{n^+}$ とみなすことができます。

$\tilde{A}=\bigcup_{n\in\omega}A^{n^+}$ と定義します。

さて、 $(A,\alpha)$ を半群とするとき $\tilde{A}$ から $A$ への写像 $F$ で、次の条件を満たすものが一意に存在することを示します。

$F|_{A}=1_A$
$F(a_0,\dots,a_n,a_{n^+})=F(a_0,\dots,a_n)\alpha a_{n^+}$

この証明には、以前紹介した帰納定理の手法が使えます。実際 $S$ を $\mathcal{P}(\tilde{A}\times A)$ の部分集合で、 $x\in S$ を

任意の $a\in A$ に対して $(a,a)\in x$
$A^{n^+}\times A$ の元 $((a_0,\dots,a_n),a)$ が $x$ に属せば、任意の $b\in A$ に対して $((a_0,\dots,a_n,b),a\alpha b)$ も $x$ に属する

として定義します。明らかに $S\ni\tilde{A}\times A$ なので $S\neq\emptyset$ です。したがって $F=\bigcap S$ とおけば、帰納定理の証明の要領で $F$ が $\tilde{A}$ から $A$ への写像となることが示せます。こうして決まった写像 $F$ に対して、 $F(a_0,\dots,a_n)={\prod_{i=0}^n}^\alpha a_i$ と表します。また、 ${\prod_{i=0}^n}^\alpha a_{m+i}$ を ${\prod_{i=m}^{m+n}}^\alpha a_i$ とも書きます。特に $(A,\alpha)=(\bar{\mathbf{N}},+)$ のとき、 ${\prod_{i=0}^n}^\alpha a_i=\sum_{i=0}^n a_i$ または $a_0+\dots+a_n$ と書き、 $(A,\alpha)=(\bar{\mathbf{N}},\times)$ のとき ${\prod_{i=0}^n}^\alpha a_i=\prod_{i=0}^n a_i$ または $a_0\dots a_n$ と書きます。