加群の完備化

数学・解析

A を可換環とし、M を A 加群、\lambda を有向集合、\{M_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} を M の部分 A 加群の族で \lambda\prec\mu\Rightarrow M_\lambda\supset M_\mu が成り立っているものとする。このとき 0\in M の基本近傍形を \{M_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} にとることで M が位相群となることは前回示したが、ここで \lambda\succ\mu ならば、自然な群準同型
\varphi_{\mu\lambda}:M/M_\lambda\to M/M_\mu
が存在するから、A 加群の射影系
(\{M/M_\lambda|\lambda\in\Lambda\};\varphi_{\mu\lambda})
が存在する。その射影的極限 \lim_{\leftarrow}M/M_\lambdaを M の完備化といい、\hat{M} と表す。位相は以下のようにして導入する。
各 M/M_\lambda は離散空間である。その直積空間 \prod M/M_\lambda の部分集合
\lim_{\leftarrow}M/M_\lambda=\{x=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\in\prod M/M_\lambda|\lambda\succ\mu\Rightarrow\varphi_{\mu\lambda}(x_{\lambda})=x_{\mu}\}
に部分空間としての位相を入れる。このとき、自然な写像 \varphi:M\to\hat{M} は連続で、\varphi(M) は \hat{M} で稠密である。\varphi が同型であるとき M は完備 であるという。