位相群の基本近傍形について

数学・解析

G を群、\Lambda を有向集合、\{H_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} は G の正規部分群の族で \lambda\prec\mu\Rightarrow H_\lambda\supset H_\mu を満たしているものとする。このとき任意の x\in G に対して xH_\lambda=H_\lambda x だから、単位元 e\in G の基本近傍形を \{H_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} と定めれば、G は位相群になる。このとき、各 xH_\lambda(x\in G,\lambda\in\Lambda) は開集合になる。なぜならば、y\in xH_\lambda ならば x^{-1}y\in H_\lambda だから
yH_\lambda=x(x^{-1}y)H_\lambda\subset xH_\lambda*1
となるから。一方で、各 xH_\lambda(x\in G,\lambda\in\Lambda) は閉集合でもある。なぜならば、補集合 G-xH_\lambda が開集合だから。何となれば y\not\in xH_\lambda のとき xH_\lambda\cap yH_\lambda\neq\emptyset とすると、xz=yw を満たす z,w\in H_\lambda が存在するので y=xzw^{-1}\in xH_\lambda となって矛盾。だから yH_\lambda\cap xH_\lambda=\emptyset であり
G-xH_\lambda=\bigcup_{y\not\in xH_\lambda}yH_\lambda
は開集合の和集合だから開集合である。以上により各 xH_\lambda(x\in G,\lambda\in\Lambda) は開かつ閉な集合となる。
以上の状況の下、G が Hausdorff 空間となる必要十分条件は
\bigcap_{\lambda\in\Lambda}H_\lambda=\{e\}
である。
必要であること。
\bigcap_{\lambda\in\Lambda}H_\lambda=E とおき、E が e 以外の元 x を含むとすれば、G が Hausdorff であるから H_\lambda\cap xH_\mu=\emptyset を満たす \lambda,\mu\in\Lambda が存在する。これは x\in H_\lambda(\forall\lambda\in\Lambda) に矛盾。よって E=\{e\} である。
十分であること。
x\neq y とする。このとき x^{-1}y\neq e だから x^{-1}y\not\in H_\lambda となる \lambda\in\Lambda が存在する。
x^{-1}y\not\in H_\lambda\Leftrightarrow y\not\in xH_\lambda
だから、y\in G-xH_\lambda である。G-xH_\lambda は開集合だから yH_\mu\subset G-xH_\lambda となる \mu\in\Lambda が存在*2し、このとき
xH_\lambda\cap yH_\mu=\emptyset
であるから G は Hausdorff.

*1:この部分はのぼりんさんにご協力いただきました。

*2:実際には \mu=\lambda で良い