圏論への誘い(その 12) - Red cat の数学よもやま話

圏 ${\rm Ens}$

今、集合からなる集合*1 V の全ての要素を対象とし、それら集合間の全ての写像を射とする圏を考えることが出来ます。これを ${\rm Ens}_V$ で表します。V がユニバースであるとき、 ${\rm Ens}_V={\rm Set}$ です。一般には、V を固定して考えないので単に ${\rm Ens}$ と書きます。これはある固定された圏ではなく、用いられる状況によって変化するものと解釈してください。

双関手と hom 関手

積の圏 $\mathcal{C}\times\mathcal{D}$ から圏 $\mathcal{E}$ への関手のことを特に双関手と言います。例えば集合 x,y に対して $\langle x,y\rangle\to x\times y$ を対応させることは双関手 ${\rm Set}\times{\rm Set}\to{\rm Set}$ を与えます。
さて、圏 $\mathcal{C}$ の対象 a,b に対して
$\langle a,b\rangle\to\hom(a,b)$
なる対応を与えることを考えます。b を固定するとき、射 $f:a_2\to a_1$ が与えられると
$\hom(a_1,b)\ni h\to h\circ f\in\hom(a_2,b)$
なる写像が考えられます。これは反変関手を与えます。すなわち関手
$\hom(-,b):\mathcal{C}^{\rm op}\to{\rm Ens}$
を与えます*2] をとっておけば良いでしょう。))。
一方 a を固定するとき、射 $g:b_1\to b_2$ が与えられると
$\hom(a,b_1)\ni k\to g\circ k\in\hom(a,b_2)$
なる写像が考えられます。これは共変関手
$\hom(a,-):\mathcal{C}\to{\rm Ens}$
を与えます。よって双関手
$\hom:\mathcal{C}^{\rm op}\times\mathcal{C}\to{\rm Ens}$
が与えられたことになります。これを特に hom 関手と言います。

随伴関手

さて、圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ と関手 $F:\mathcal{D}\to\mathcal{C},U:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ があって、 $\mathcal{C}$ の対象 a と $\mathcal{D}$ の対象 b に対して「自然な」同型
$\hom_{\mathcal{C}}(Fb,a)\simeq\hom_{\mathcal{D}}(b,Ua)$
が成り立つとき、F は U の左随伴関手(left-adjoint functor)であるといい、また U は F の右随伴関手(right-adjoint functor)であるといいます。ここで「自然な」の意味は
$O_{a,b}:\hom_{\mathcal{C}}(Fb,a)\to\hom_{\mathcal{D}}(b,Ua)$
と書くとき、射 $f:a_1\to a_2,g:b_2\to b_1$ に対して
$\hom(g,Uf)\circ O_{a_1,b_1}=O_{a_2,b_2}\circ\hom(Fg,f)$
が成り立っていることを意味します。
左随伴関手の代表例は、集合 X に対して、それによって生成される自由群 F(X) を対応させる関手 $F:{\rm Set}\to{\rm Grp}$ です。このとき F は忘却関手 U の左随伴関手になることが確かめられます。