円積問題 - Red cat の数学よもやま話

さて、前回 $\pi$ が超越数であることを証明しました。この事実から、「与えられた円と同じ面積の正方形を作図すること」という作図問題の不可能性が証明できます。
与えられた円の半径は、仮に 1 であるとして問題ありません。すると、与えられた円の面積はちょうど $\pi$ です。
これと同じ面積の正方形を作図するためには、 $\sqrt{\pi}$ が作図できれば良いことになるのですが、体の拡大 $\mathbb{Q}(\sqrt{\pi})/\mathbb{Q}$ は、中間体である $\mathbb{Q}(\pi)$ が前回の話から $\mathbb{Q}$ の超越拡大となるため、元の拡大も超越拡大です。従って作図不可能なことが分かります。