圏論への誘い(その 13) - Red cat の数学よもやま話

左随伴と右随伴は双対である

関手 $U:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ が与えられたとき、それは反変関手 $U:\mathcal{C}^{\rm op}\to\mathcal{D}$ を与えますが、 $f^{\rm op}:a\to b$ (すなわち $f:b\to a$ )、 $g^{\rm op}:b\to c$ (すなわち $g:c\to b$ ) に対して $U(f^{\rm op}):U(a)\to U(b)$ とは $U(f):U(b)\to U(a)$ のことですから $U(f^{\rm op})=U(f)^{\rm op}$ です。同様に $U(g^{\rm op})=U(g)^{\rm op}$ なので
$\begin{align}U(g^{\rm op}\circ f^{\rm op})&=U(f\circ g)\\&=U(f)\circ U(g)\\&=U(g)^{\rm op}\circ U(f)^{\rm op}\\&=U(g^{\rm op})\circ U(f^{\rm op})\end{align}$
となり、結局(共変)関手 $U:\mathcal{C}^{\rm op}\to\mathcal{D}^{\rm op}$ が与えられたことになります。
さて、 $F:\mathcal{D}^{\rm op}\to\mathcal{C}^{\rm op}$ が $U:\mathcal{C}^{\rm op}\to\mathcal{D}^{\rm op}$ の左随伴関手であるとき、自然な同型
$\hom_{\mathcal{C}^{\rm op}}(Fb,a)\simeq\hom_{\mathcal{D}^{\rm op}}(b,Ua)$
がありますから、これを書き直すと
$\hom_{\mathcal{C}}(a,Fb)\simeq\hom_{\mathcal{D}}(Ua,b)$
ということになります。従って F は U の右随伴関手になっています。このように、左随伴と右随伴は、互いに双対の概念になっています。

極限と余極限

二つの圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ に対し、関手 $\Delta:\mathcal{C}\to\mathcal{C}^{\mathcal{D}}$ を以下のように定義します。
$\mathcal{C}$ の任意の対象 x に対して関手 $\Delta x:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ とは、 $\mathcal{D}$ の全ての対象に対して x を、また全ての射に対して id(x) を対応させるもの。
この関手 $\Delta$ が右随伴を持つとき、それを $\lim_{\leftarrow\mathcal{D}}$ と書いて極限と言い、また $\Delta$ が左随伴を持つとき、それを $\lim_{\rightarrow\mathcal{D}}$ と書いて余極限と言います。上で見たように、左随伴と右随伴は互いに双対の概念ですから、極限と余極限も互いに双対の概念です。