圏論への誘い(その 14・最終回) - Red cat の数学よもやま話

部分圏の極限

$\mathcal{D}$ が $\mathcal{C}$ の部分圏であるとき、包含関手 $I:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ の極限・余極限をそれぞれ
$\lim_{\leftarrow\mathcal{D}}I=\lim_{\leftarrow}\mathcal{D},\lim_{\rightarrow\mathcal{D}}I=\lim_{\rightarrow}\mathcal{D}$
と表すことにします。

極限・余極限の例

最後に、いくつかの極限・余極限の例を挙げて、この話題を締めくくりたいと思います。
0 を空圏(対象も射も存在しない圏)とします。これは任意の圏 $\mathcal{C}$ の部分圏です。
このとき、包含関手 I も、任意の $\mathcal{C}$ の対象 x に対する $\Delta x$ も、関手としては同じ、ただ一つの自明な関手に等しくなります。従って $\Delta x$ から I への自然変換も、恒等自然変換しかありません。つまり $\hom_{\mathcal{C}^0}(\Delta x,I)$ はただ一つの元しか持ちえません。従って極限の随伴性から $\hom_{\mathcal{C}}(x,\lim_{\leftarrow}0)$ もまたただ一つの元しか持ちえません。x は任意でしたから、これは $\lim_{\leftarrow}0$ が終対象であることを意味します。全く同様に $\lim_{\rightarrow}0$ は始対象です。
$\mathcal{D}$ を二つの対象 a , b と、その上の恒等射 id(a) , id(b) からなる部分圏とします。このとき、任意の $\mathcal{C}$ の対象 x に対して $\Delta x$ から I への自然変換とは、x から a への射 $t_a:x\to a$ と x から b への射 $t_b:x\to b$ の組に他なりません。つまり
$\hom_{\mathcal{C}^{\mathcal{D}}}(\Delta x,I)\simeq\hom_{\mathcal{C}}(x,a)\times\hom_{\mathcal{C}}(x,b)$
が成り立ちます。今 $\lim_{\leftarrow}\mathcal{D}$ が存在するとして、
$\hom_{\mathcal{C}}(x,a)\times\hom_{\mathcal{C}}(x,b)\simeq\hom_{\mathcal{C}}(x,\lim_{\leftarrow}\mathcal{D})$
で $x=\lim_{\leftarrow}\mathcal{D}$ と置いたときの右辺の恒等射に対応する左辺の射の組を $\langle\pi_a,\pi_b\rangle$ とします。左辺の元 $\langle t_a,t_b\rangle$ に対して、右辺の元 $h:x\to\lim_{\leftarrow}\mathcal{D}$ が一意に対応し、 $t_a=\pi_a\circ h,t_b=\pi_b\circ h$ が成り立つことは容易に確かめられます。これは $\lim_{\leftarrow}\mathcal{D}$ が a と b の直積であることを意味しています。同様に $\lim_{\rightarrow}\mathcal{D}$ は直和です。
$\mathcal{D}$ を二つの対象 a , b と、その上の恒等射 id(a) , id(b)、及び二つの射 $f,g:a\to b$ からなる部分圏とします。このとき、任意の $\mathcal{C}$ の対象 x に対して $\Delta x$ から I への自然変換 t が与えられると、x から a への射 $t_a:x\to a$ と x から b への射 $t_b:x\to b$ について $f\circ t_a=t_b=g\circ t_a$ がが成り立ちます。逆に $f\circ h=g\circ h$ なる射 $h:x\to a$ が与えられれば、 $\Delta x$ から I への自然変換が自然に定まります。従って $\hom_{\mathcal{C}^{\mathcal{D}}}(\Delta x,I)$ とは、x から a への射 $h$ で、 $f\circ h=g\circ h$ を満たすものの全体とみなせます。さて
$\hom_{\mathcal{C}^{\mathcal{D}}}(\Delta x,I)\simeq\hom_{\mathcal{C}}(x,\lim_{\leftarrow}\mathcal{D})$
で $x=\lim_{\leftarrow}\mathcal{D}$ と置いたときの右辺の恒等射に対応する左辺の元(に対応する x から a への射)を e とします。今、左辺の元に対応する x から a への射 h に対し、右辺の元 $k:x\to\lim_{\leftarrow}\mathcal{D}$ が一意に対応し、明らかに $h=e\circ k$ が成り立ちます。これは $\lim_{\leftarrow}\mathcal{D}$ が f と g の差核であることを意味しています。 $\lim_{\rightarrow}\mathcal{D}$ が f と g の双対差核であることは練習問題としましょう。