公理的集合論における自然数の存在(その 3)

Peano の公理

これから自然数にいろいろな構造を入れていく上で重要な、Peano の公理について説明します。
(P1) $x\in a$ に対してある $x'\in a$ が確定する。
これは写像 $\varphi:a\to a$ が定まっている、とも言い換えられます。 $\varphi(x)$ のことを $x'$ と書いているわけです。
(P2) $\exists\nu\in a(\forall x\in a(x'\neq\nu))$
これは、(P1) で定まった写像 $\varphi$ が全射でない( $\varphi(a)\neq a$ )ことを意味します。
(P3) $[b\subseteq a\wedge\nu\in b\wedge\forall x(x\in b\to x'\in b)]\to b=a$
これの意味は後ほどわかります。
(P4) $(x,y\in a\wedge x'=y')\to x=y$
これは (P1) で定まった写像 $\varphi$ が単射である( $\varphi(x)=\varphi(y)\to x=y$ )ことを意味します。

自然数は Peano の公理を満たす

自然数の集合 $\omega$ は
$x'=x^+,\nu=0=\emptyset$
とおくことで Peano の公理を満たすことがわかります。実際、(P1) を満たすことは明らかですし、(P2) については
$x^+=x\cup\{x\}\ni x$
なので $x^+\neq\emptyset$ です。(P3) の仮定部分は、 $b$ が $\omega$ に含まれる無限系譜であることを意味していますから、無限系譜としての $\omega$ の最小性から $b=\omega$ になります。
(P4) を示しましょう。 $x,y\in\omega$ で $x^+=y^+$ とします。
$x\in x^+=y^+=y\cup\{y\}$
から、 $x\in y$ または $x\in\{y\}\leftrightarrow x=y$ が成り立ちます。同様に
$y\in y^+=x^+=x\cup\{x\}$
から、 $y\in x$ または $y\in\{x\}\leftrightarrow y=x$ も成り立ちます。従って
$\begin{array}{ccl}x^+=y^+&\to&(x\in y\vee x=y)\wedge(y\in x\vee x=y)\\&\leftrightarrow&(x\in y\wedge y\in x)\vee x=y\end{array}$
が成り立ちますが、正則性公理により $x\in y\wedge y\in x$ は成り立ちません*1ので、結局 $x=y$ のみが成り立つことになります。
以上によって、 $\omega$ が Peano の公理を満たすことがわかります。

数学的帰納法

自然数の元を自由変数にもつ論理式 $P(n)(n\in\omega)$ を考えます。このとき

$P(0)$ が真
$\forall n\in\omega(P(n)\to P(n^+))$ が真

が成り立つならば
$\forall n\in\omega P(n)$
も真になります。これが数学的帰納法です。証明は (P3) で
$b=\{n\in\omega|P(n)\}$
とおけば示せます。実は (P3) は、この数学的帰納法のような論法が、Peano の公理が成り立つ集合の上で行える、という意味なのです。

*1:以前、正則性公理の練習問題として紹介したのですが、覚えていらっしゃったでしょうか ?