公理的集合論における自然数の存在(その 6)

整列集合

$a$ を順序集合とし、 $o\subseteq a\times a$ を順序関係とします。以下、面倒なので $\langle x,y\rangle\in o$ であるとき $x\prec y$ と表し、「順序集合 $(a,\prec)$ 」と書くことにします。
さて、順序集合 $(a,\prec)$ の部分集合 $b$ に対し、 $\forall y\in b(x\prec y)$ を満たす $x\in b$ が存在するとき、これを $b$ の最小元と言い、 $\min b$ と表します。
$(a,\prec)$ が全順序集合で、 $\forall b\subseteq a$ (ただし $b\neq\emptyset$ ) が $\min b$ を有するとき、 $(a,\prec)$ は整列集合であると言います。

自然数の全体は整列集合である

前回、 $(\omega,\leq)$ は全順序集合となることを確認しました。実は、これは整列集合となることが、以下のように示されます。
$s\subseteq\omega,s\neq\emptyset$ とします。 $0\in s$ ならば、明らかに $\min s=0$ となります。 $0\not\in s$ とし、 $s'\subseteq\omega$ を
$s'=\{n\in\omega|\forall x\in s(n<x)\}$
と取ると、明らかに $0\in s',s\cap s'=\emptyset$ です。もし任意の $n\in s'$ に対して $n^+\in s'$ が成り立つと、数学的帰納法の原理で $s'=\omega$ 、すなわち $s=\emptyset$ となって矛盾します。従って
$\exists n\in s'(n^+\not\in s')$
が成り立ちます。 $n^+\not\in s'$ は
$\neg\forall x\in s(n^+<x)$
と同じなので、論理的に書き換えて
$\exists x\in s(n^+\geq x)$
と同じになります。一方で $n\in s'$ だから、このような $x$ に対して $n<x$ が成り立ちます。従って
$n<x\leq n^+\leftrightarrow x=n^+$
となり、 $n^+\in s$ を得ます。 $\forall y\in s(n<y)$ ですから $\forall y\in s(n^+\leq y)$ となり、 $n^+\in s$ と合わせて $\min s=n^+$ を得ます。
整列集合になる、という性質は、あらゆる数の中でも自然数に特有のもので、他(例えば、整数の全体など)にはないものです。