公理的集合論における自然数の存在(その 5)

自然数の大小

いよいよ自然数の大小関係を再現します。その前に
$m\supset n\to m\supseteq n^+$
が成り立つことに注意します。実際 $m\supset n$ ならば前回の補題により $n\in m$ なので $n^+=n\cup\{n\}\subseteq m$ となります。また、このことから直ちに
$n\subset m\subseteq n^+\to m=n^+$
が成り立つこともわかります。
さて
$P(n)\equiv\forall m\in\omega(m\subseteq n\vee m\supseteq n)$
とおいて、 $P(n)$ が任意の自然数 $n$ について成り立つことを示します。 $P(n)$ は
$\forall m\in\omega(m\subseteq n\vee m\supset n)$
や
$\forall m\in\omega(m\subset n\vee m\supseteq n)$
と同値な命題であることに注意します。さて、 $0=\emptyset\subseteq m$ は常に成り立ちますから、 $P(0)$ は真です。
$P(n)\to P(n^+)$ を示しましょう。 $m\subseteq n$ ならば $n\subset n^+$ から $m\subset n^+$ が成り立ちます。一方、 $m\supset n$ ならば上記の事実により $m\supseteq n^+$ です。従って $P(n)\to P(n^+)$ は任意の自然数 $n$ に対して真になります。よって数学的帰納法により $\forall n\in\omega(P(n))$ は真となり、結局
$\forall m,n\in\omega(m\subseteq n\vee m\supseteq n)$
が成り立つことになります。
$\omega$ 上の関係 $o$ を
$o=\{\langle m,n\rangle\in\omega\times\omega|m\subseteq n\}$
とおくと、これは $\omega$ 上の順序(関係)になりますが、今示したことは、この順序が 全順序(関係)*1になっているということです。
以降、 $m\subseteq n(n\supseteq m)$ を $m\leq n(n\geq m)$ と、また $m\subset n(n\supset m)$ を $m<n(n>m)$ と書くことにします。この記号を使うと
$0<1<2<\cdots$
というように、我々がよく知っている自然数の大小と整合性が取れます。
さて、自然数の全体は、単に全順序集合であるだけでなく、さらに著しい性質を持つことがわかるのですが、それは次回に。

*1:詳しくは述べていませんでしたが、集合 $a$ 上の順序関係 $o$ が $o\cup o^{-1}=a\times a$ を満たすとき、全順序関係であると言います。