公理的集合論における自然数の存在(その 2)

さて、前回作った $\omega_a$ が、実は $a$ によらないことを示したいわけですが、そのために、もう一つ補題を示しておきます。

補題

$\mathcal{P}(a\cap b)=\mathcal{P}(a)\cap\mathcal{P}(b)$

(証明)
$\begin{array}{ccl}x\in\mathcal{P}(a\cap b)&\leftrightarrow&x\subseteq a\cap b\\&\leftrightarrow&\forall y(y\in x\to y\in a\cap b)\\&\leftrightarrow&\forall y(y\in x\to(y\in a\wedge y\in b))\\&\leftrightarrow&\forall y[(y\in x\to y\in a)\wedge(y\in x\to y\in b)]\\&\leftrightarrow&x\subseteq a\wedge x\subseteq b\\&\leftrightarrow&x\in\mathcal{P}(a)\wedge x\in\mathcal{P}(b)\\&\leftrightarrow&x\in\mathcal{P}(a)\cap\mathcal{P}(b)\end{array}$
$a,b$ を無限系譜とするとき、 $a\cap b$ も無限系譜となることは容易にわかります。よって
$\begin{align}\tilde{a\cap b}&=\{x\in\mathcal{P}(a\cap b)|M(x)\}\\&=\{x\in\mathcal{P}(a)\cap\mathcal{P}(b)|M(x)\}\subseteq\tilde{a}\end{align}$
となるので、前回の補題の 2. により $\omega_{a\cap b}\supseteq\omega_a$ が成り立ちます。逆に $y\in\omega_{a\cap b}$ とします。 $x\in\tilde{a}$ を任意に取るとき、無限系譜 $b$ に対して $x\cap b\subseteq a\cap b$ であり、なおかつ $x\cap b$ は無限系譜となりますから、 $x\cap b\in\tilde{a\cap b}$ です。従って $\omega_{a\cap b}$ の作り方から $y\in x\cap b$ となり、特に $y\in x$ です。 $x\in\tilde{a}$ は任意だったので $y\in\omega_a$ となり、 $\omega_{a\cap b}\subseteq\omega_a$ が成り立ちます。
以上のことから、任意の二つの無限系譜 $a,b$ に対して
$\omega_a=\omega_{a\cap b}=\omega_b$
が成り立つことになり、 $\omega_a$ は、実は $a$ によらずに定まる集合となります。これを改めて $\omega$ と書くことにします。
$\omega$ の作り方からわかるように、任意の無限系譜 $a$ に対して $\omega\subseteq a$ が成り立ちます。すなわち $\omega$ は、あらゆる無限系譜の中で「最小」のものであることがわかります。この $\omega$ の元に対して
$\begin{array}{cl}0&=\emptyset\\1&=0^+=\{0\}\\2&=1^+=\{0,1\}\\&\vdots\\n&=(n-1)^+=\{0,1,\ldots,n-1\}(n=1,2,3,\cdots)\end{array}$
と、「帰納的に」*1 自然数を対応させることが出来ます*2。これで、「集合としての」自然数は、公理的集合論の中に埋め込まれました。しかし、まだ、大小関係や演算などの構造は埋め込まれていません。次回以降、それらの作業を行うことにします。