複素数の平方根 - Red cat の数学よもやま話

Java で複素数を扱いたくて、その平方根を計算させるためにどうするのが一番良いか、と考えていたときに思いついたことをメモしておきます。
$a+bi(a,b\in\mathbb{R})$ を与えられた複素数として $(x+yi)^2=a+bi$ が成り立つように実数 x , y を定めるには、連立方程式
$\left\{\begin{eqnarray}x^2-y^2&=&a\\2xy&=&b\end{eqnarray}\right.$
を解けばよい。しかるに $-x^2y^2=-\frac{b^2}{4}$ であるから、 $x^2,-y^2$ は二次方程式
$t^2-at-\frac{b^2}{4}=0$
の解である。そしてこれを実際に解くと
$t=\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}$
だが、 $x^2\geq 0,-y^2\leq 0$ だから
$x^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2},-y^2=\frac{a-\sqrt{a^2+b^2}}{2}$
が成り立ち、したがって
$x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}},y=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}$
となるが、 $xy=\frac{b}{2}$ に注意すると組み合わせとしては
$\left\{\begin{array}x=\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}},&y=\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\\x=-\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}},&y=-\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\end{array}\right.$
のみが考えられる。したがって
$\sqrt{a+bi}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}i\right)$
となる。