ε - δ 論法(その 5) - Red cat の数学よもやま話

数列の $\varepsilon$ 論法は、以下のような抽象的な議論をするときには強力な道具になります。

例

$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ ならば
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}=\alpha$
(証明)
$\varepsilon>0$ を固定する。 $\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ により
$n>N_0$ ならば $|a_n-\alpha|<\frac{\varepsilon}{2}$
となる自然数 $N_0$ が存在する。
$|a_1-\alpha|,|a_2-\alpha|,\dots,|a_{N_0}-\alpha|$
のうち最大のものを $K$ とすれば
$\lim_{n\to\infty}\frac{N_0 K}{n}=0$ により
$n>N_1$ ならば $\frac{N_0 K}{n}<\frac{\varepsilon}{2}$
となる自然数 $N_1$ が存在する。
そこで $N=\max\{N_0,N_1\}$ とおくと $n>N$ のとき
$\left|\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}-\alpha\right|\\=\left|\frac{(a_1-\alpha)+(a_2-\alpha)+\dots+(a_n-\alpha)}{n}\right|\\\leq\frac{|a_1-\alpha|+|a_2-\alpha|+\dots+|a_n-\alpha|}{n}\\=\frac{|a_1-\alpha|+|a_2-\alpha|+\dots+|a_{N_0}-\alpha|}{n}+\frac{|a_{N_0+1}-\alpha|+|a_2-\alpha|+\dots+|a_n-\alpha|}{n}\\\leq\frac{N_0 K}{n}+\left(\frac{n-N_0}{n}\right)\frac{\varepsilon}{2}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$
となるから、題意が示された。