ε - δ 論法(その 3) - Red cat の数学よもやま話

さて、前回名前が出てきた $\varepsilon$ 論法とは、いったいどんなものなのでしょうか。
基本となる考え方は

数列がある値に収束するならば、数列の十分先は、その値に十分近いところに全て収まっているであろう

というものです。この考え方を頭に入れて、数列の収束の定義を見てみましょう。

定義

数列 $\{a_n\}$ が $a$ に収束する(このとき $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ と書く)とは、任意の $\varepsilon>0$ に対して、 $\varepsilon$ にのみ依存する自然数 $N=N(\varepsilon)$ が存在して以下を満たすことである。
$n\geq N\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon$
次回以降、この定義をもとにいくつかの例を確認してみます。