ε - δ 論法(その 4) - Red cat の数学よもやま話

いくつかの例

1. $a_n=\frac1n$
$\varepsilon$ を正の数として
$N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$
とおきます([・] は Gauss 記号)。このとき N は $\varepsilon$ にのみ依存する自然数で、Gauss 記号の定義により
$\frac{1}{\varepsilon}<N$
が成り立ちます。したがって逆数を取れば
$\frac1N<\varepsilon$
であり、よって $n\geq N$ ならば
$\frac1n\leq\frac1N<\varepsilon$
なので $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$
2. $a_n=a^n$ 、ただし $|a|<1$
$a=0$ ならば自明なので、 $a\neq 0$ とします。
$b=\frac{1}{|a|}$ とおくと $b>1$ なので
$b=1+h,h>0$
となります。そこで $\varepsilon>0$ を任意に取るとき
$N=\left[\frac{1}{h\varepsilon}\right]+1$
とおく([・] は Gauss 記号)と、N は $\varepsilon$ にのみ依存する自然数で、Gauss 記号の定義により
$Nh>\frac{1}{\varepsilon}$
が成り立つことに注目して、二項定理により
$b^n=(1+h)^n=1+nh+\dots>nh$
だから $n\geq N$ ならば
$|a|^n=\frac{1}{b^n}<\frac{1}{nh}\leq\frac{1}{Nh}<\varepsilon$
なので $\lim_{n\to\infty}a^n=0.$