数学的帰納法は帰納的 ? 演繹的 ?

数学・基礎論

今日、数学掲示板にて「数学的帰納法は帰納的か演繹的か」という質問を頂きましたが、私はこの手の話に詳しくないので、良くわかりません。どなたか偉い人が降臨するのを待つよりありません。
的外れかもしれませんが、
\displaystyle\sum_{m=1}^n m=\frac{n(n+1)}{2} … (*)
を数学的帰納法で証明するならば

n = 1 のとき (*) の両辺は等しく、また、n = k のとき (*) が成り立つと仮定すると n = k + 1 のとき
\begin{align}\displaystyle\sum_{m=1}^{k+1} m&=\left(\displaystyle\sum_{m=1}^k m\right)+k+1\\&=\frac{k(k+1)}{2}+k+1\\&=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\end{align}
で成り立つので、(*) は n が任意の自然数のとき成り立つ。

とやります。一方で、ガウスが小学五年生だったときに思いついたという有名な方法として

S=1+2+\cdots+n とおくと
\begin{align}2S&=(1+2+\cdots+n)+(n+(n-1)+\cdots+1)\\&=n(n+1)\end{align}
だから S=\frac{n(n+1)}{2}.

というのがあります。よく前者は帰納的、後者は演繹的だと言いますが、真偽の程はわかりません。
先程数学掲示板に、常連の方から書き込みがあり、数学的帰納法は

演繹的推論です。理由は自然数論が帰納法の公理を含むペアノの公理系によって定義されているからです。

とのことでした。ありがとうございました。