9 で終わる数で割る割り算 - Red cat の数学よもやま話

9 で終わる数字による割り算を考えます。9 で終わる数字は一般に $10a-1$ と表せますので $\frac{b}{10a-1}$ を計算することを考えます。 $b\lt 10a-1$ として問題ありません。まず
$\frac{b}{10a-1}\to\frac{b}{a}\times\frac{1}{10}$
と書き換えます。次に
$b=ac_1+q_1 (0\le q_1\le a-1)$ … (*)
と割り算します。 $b\lt 10a-1$ の条件から $0\le c_1\le 9$ が成り立ちます。この両辺を 10 倍して整理すると
$10b=(10a-1)c_1+(10q_1+c_1)$
となります。ここに $0\le 10q_1+c_1\le 10a-1$ ですが、実際に $10q_1+c_1=10a-1$ となるのは $c_1=9,q_1=a-1$ のときに限るので、 $b\lt 10a-1$ からそれはあり得ません。したがって、(*) で求めた $c_1$ は、 $\frac{b}{10a-1}$ の小数第 1 位に一致します。小数第 2 位以下を求めるには $b_1=10q_1+c_1$ に対して同じ方法を用いて求めれば良いので、9 で終わる数字による割り算がこの方法で素早く求められることが分かります。