LU 分解(後編) - Red cat の数学よもやま話

一般の行列の LDU 分解

一般の $m\times n$ 行列 A に対して、正則行列 S と置換行列 $P_2$ があって
$SAP_2=\left(\begin{array}B&C\\O&O\end{array}\right)$
と出来ることは周知の事実である。ただし B は次数が r (= rank A) で対角成分が全て 1 である上三角行列である。今、 $S^{-1}$ に対して LDU 分解
$P_1S^{-1}=LDU$
を行うと
$P_1AP_2=LDU\left(\begin{array}B&C\\O&O\end{array}\right)$
となる。
$U=\left(\begin{array}U_{11}&U_{12}\\O&U_{22}\end{array}\right)$
とおく。ただし $U_{11},U_{22}$ はそれぞれ対角成分が 1 である r 次および (m - r) 次の上三角行列である。このとき
$U\left(\begin{array}B&C\\O&O\end{array}\right)=\left(\begin{array}U_{11}B&U_{11}C\\O&O\end{array}\right)$
である。 $U_{11}B$ はまた対角成分が 1 の上三角行列であるから、この式全体を改めて U と置き直し、 $U_{11}B,U_{11}C$ を B , C と置き直す。
$L=\left(\begin{array}L_{11}&O\\L_{21}&L_{22}\end{array}\right)$
とおく。ただし $L_{11},L_{22}$ はそれぞれ対角成分が 1 である r 次および (m - r) 次の上三角行列である。このとき
$LU=\left(\begin{array}L_{11}B&L_{11}C\\L_{12}B&L_{12}C\end{array}\right)$
で、この式の右辺に $L_{22}$ は現れないから、 $L_{22}$ を $E_{m-r}$ に取り換えても影響は無い。かくして、適当な置換行列 $P_1,P_2$ を A に左右から掛けて
$P_1AP_2=LDU$
と分解することができた。ここに

$L=\left(\begin{array}L_{11}&O\\L_{21}&E_{m-r}\end{array}\right)$ は m 次の下三角行列で、 $L_{11}$ の対角成分は 1
$U=\left(\begin{array}B&C\\O&O\end{array}\right)$ は上三角型の $m\times n$ 行列で、B の対角成分は 1

である。これを一般の行列の LDU 分解という。
まったく同様の方法で
$P_1AP_2=LDU$
と分解することができる。ここに

$U=\left(\begin{array}U_{11}&U_{12}\\O&E_{m-r}\end{array}\right)$ は n 次の上三角行列で、 $U_{11}$ の対角成分は 1
$L=\left(\begin{array}B&O\\C&O\end{array}\right)$ は下三角型の $m\times n$ 行列で、B の対角成分は 1

である。

Cholesky 分解

A が実対称行列(Hermite 行列の場合でもほぼ同様)のときには、特に
$PAP^*=LDL^*$
と分解することができる。これを Cholesky 分解という。手順は複雑なので、伊理正夫「一般線形代数」(岩波書店)を参考にすると良い。