Noether 環は、それを係数とする多項式環と同型ではない

いろいろな人からヒントをいただいたりアドバイスをいただいたりしましたが、最終的にぽけっとさんのアドバイスが決定打になって、ようやく解決しました。しかし、準同型定理を失念するとは衰えた…。

A を Noether 環とし、A 係数の多項式環を A[X] とする。 $A[X]\stackrel{\sim}{=}A$ と仮定する。 $I_1:=(X)$ とおくと、自然な同型 $A\stackrel{\sim}{=}A[X]/I_1$ が存在するから、同型写像 $f_1:A[X]\to A[X]/I_1$ が作れる。
$\pi_1:A[X]\to A[X]/I_1$ を自然な射影として
$I_2:=\pi_1^{-1}(f_1(I_1))$
とおくと、 $I_2\supset I_1$ (真に含む)。
$f_1$ によって同型
$A[X]\stackrel{\sim}{=}A[X]/I_1\stackrel{\sim}{=}(A[X]/I_1)/f_1(I_1)$
が導かれるが、最後の部分は $\pi_1:A[X]\to A[X]/I_1$ に対する準同型定理から $A[X]/I_2$ に同型である。したがって同型写像
$f_2:A[X]\to A[X]/I_2$
が作れた。
この手順を帰納的に繰り返すことで、A[X] の ideal の真の無限昇鎖列
$I_1\subset I_2\subset\dots\subset I_n\subset\dots$
が出来上がり、A[X] が Noether 環である(Hilbert の基底定理 !)ことに矛盾する。よって $A[X]\not{\stackrel{\sim}{=}}A$ .