Sylvester の方程式 - Red cat の数学よもやま話

m 次正方行列 A 、n 次正方行列 B 、 $m\times n$ 行列 C が与えられたとき、 $m\times n$ 行列 X に関する方程式
$AX-XB=C$ … (1)
を Sylvester の方程式という。
$AX-XB=\left(\sum_{s=1}^m a_{is}x_{sj}-\sum_{t=1}^n x_{it}b_{tj}\right)$
であるから、この行列の (i,j) 成分における $x_{kl}$ の係数は $a_{ik}\delta_{lj}-\delta_{ik}b_{lj}$ である。そこで
$\mathcal{I}=\{(i,j)|i=1,\dots,m,j=i,\dots,n\}$
に新しい順序を
$(k,l)\prec(i,j)\Leftrightarrow k<i\vee(k=i\wedge l>i)$
で定義する。すなわち
$(1,n)\prec\dots\prec(1,1)\prec(2,n)\prec\dots\prec(2,1)\prec\dots\prec(m,n)\prec\dots\prec(m,1)$
でもって $\mathcal{I}$ に順序を入れる。
この順序に基づいて
$\mathcal{X}={}^t(x_{1n},\dots,x_{11},\dots,x_{mn},\dots,x_{m1}),$
$\mathcal{C}={}^t(c_{1n},\dots,c_{11},\dots,c_{mn},\dots,c_{m1}),$
と定め、
$\mathcal{A}=(a_{ik}\delta_{lj}-\delta_{ik}b_{lj})_{(i,j),(k,l)\in\mathcal{I}}$
なる新しい mn 次正方行列を定義すると、(1) は
$\mathcal{AX}=\mathcal{C}$ … (2)
と書き直せる。 $\mathcal{A}$ が正則ならば、(2) はただ一つの解を持ち、したがって (1) もただ一つの解を持つ。
簡単のために、A , B がともに上三角行列の場合を考えると
$(k,l)\prec(i,j)\Rightarrow a_{ik}\delta_{lj}-\delta_{ik}b_{lj}=0$
故、 $\mathcal{A}$ もまた上三角行列で、その対角成分は $a_{ii}-b_{jj}$ であるから、(2) が一意に解を持つ条件は
$a_{ii}-b_{jj}\neq 0(i=1,\dots,m,j=1,\dots,n)$ … (3)
である。
ところで、A , B が一般の行列の場合でも、適当な m 次および n 次の unitary 行列 U , V を用いて、 $U^*AU,V^*BV$ が上三角行列となるように出来るから、(1) は
$(U^*AU)(U^*XV)-(U^*XV)(V^*BV)=U^*CV$ … (1)
と書き直せる。
$U^*AU=A',V^*BV=B',U^*CV=C',U^*XV=Y$
と置きなおせば、Y についての方程式
$A'Y-YB'=C'$
が一意に解を持つ条件は、 $A',B'$ が上三角行列であることから (3) が適用できる。このとき $X=UYV^*$ として X も一意に求まる。
ところで $A',B'$ の対角成分は、各々 A , B の固有値に他ならないから、Sylvester の方程式が一意に解を持つ条件は、A の固有値全体の集合と B の固有値全体の集合が共通部分を持たないことである、と結論付けられる。