Noether 的付値環が DVR となることの証明(その 2)

Artin-Rees の補題(続き)

$b\in I^i\cap J$ に対する
$bx^i=g_1 f_1+\dots+g_s f_s (g_n\in S)$
の係数比較。各 $g_n f_n$ において
$g_n(x)=d_{n,0}+d_{n,1}x+\dots(d_{n,j}\in I^j),$
$f_n(x)=c_{n,0}+c_{n,1}x+\dots+c_{n,k}x^k(c_{n,j}\in I^j\cap J)$
とおいて $x^i$ の係数に着目すると
$\sum_{j=0}^k d_{n,i-j}c_{n,j}$
となるが、ここで $i\geq k$ により $d_{n,i-j}\in I^{i-j}=I^{i-k}I^{k-j}$ であるから、この係数は $I^{i-k}(I^k\cap J)$ に属する。以上で証明が終わった。

Krull の共通部分定理

R のイデアル I ,J があって、J は有限生成であるとする。このとき、IJ = J ならば NAK の補題により $(1-a)J=0$ を満たす $a\in I$ があることに注意する。

次に、R を Noether として、そのイデアル I に対して
$I^*=\bigcap_{i=1}^\infty I^i$
とおく。Artin-Rees の補題により、正整数 k が存在して
$I^{k+1}\cap I^*=I(I^k\cap I^*)\subset II^*$
であるが、左辺は $I^*$ の定義から $I^*$ に一致する。したがって $I^*\subset II^*$ であり、特に $I^*=II^*$ 。したがって
$I^*\subset\{x\in R|(\exists a\in I)ax=x\}$
である。逆に $x\in R$ に対して $ax=x$ となる $a\in I$ が存在すれば、任意の正整数 $n$ に対して $x=a^nx\in I^n$ であるから $x\in I^*$ 。よって
$I^*=\{x\in R|(\exists a\in I)(ax=x)\}$
がわかる。