Noether 的付値環が DVR となることの証明(その 1)

しばし連載を休止してお勉強。以下、 $R$ は特に断らない限り単位元をもつ可換環。

Artin-Rees の補題

$R$ を Noether 環、 $I,J$ をそのイデアルとする。

$R[x]$ の部分環
$S=\{f(x)=\sum_m a_m x^m\in R[x] | a_m\in I^m\}$
はやはり Noether 環となる。これを示すには
$I=(\alpha_1,\dots,\alpha_r)$
として
$\Phi:R[y_1,\dots,y_r]\ni g(y_1,\dots,y_r)\mapsto g(\alpha_1 x,\dots,\alpha_r x)\in S$
が全準同型となることを言えばよい。実際 $f(x)={\alpha_1}^{m_1}\dots{\alpha_r}^{m_r}x^m (m_1+\dots+m_r=m)$ に対しては $\Phi({y_1}^{m_1}\dots{y_r}^{m_r})=f(x)$ である。Hilbert の基底定理により $R$ が Noether なら $R[y_1,\dots,y_r]$ も Noether であり、 $S\simeq R[y_1,\dots,y_r]/\ker\Phi$ も Noether.

さて、 $S$ のイデアル $S\cap J[x]$ の基底を $f_1,\dots,f_s$ とし、 $k=\max\deg f_n$ とおく。 $\forall i\geq k$ に対して
$I^i\cap J\supset I^{i-k}(I^k\cap J)$
は明らかに成り立つが、 $b\in I^i\cap J$ に対して
$bx^i=g_1 f_1+\dots+g_s f_s(g_n\in S)$
の両辺の $x^i$ の係数を比較することにより $I^i\cap J\subset I^{i-k}(I^k\cap J)$ がわかる。(続く)