Radon - Nikodym 微分(その 8) - Red cat の数学よもやま話

Radon - Nikodym の定理の証明(その 3)

前回定義した $f(s)$ が求めるものであることを示します。
$c,d$ を有理数で $0<c<d$ なるものとし、 $[c,d]$ を細分して
$\Delta:c=r(0)<r(1)<\dots<r(n)=d$
とします。このとき $r(j)<r(k)$ ならば
$s\in P_{r(j)}\setminus P_{r(k)}\Rightarrow r(j)\leq f(s)\leq r(k)$
が成り立ちます。故に
$r(j)\mu(M\cap(P_{r(j)}\setminus P_{r(k)}))\leq\int\nolimit_{M\cap(P_{r(j)}\setminus P_{r(k)})}fd\mu\\\leq r(k)\mu(M\cap(P_{r(j)}\setminus P_{r(k)}))$
です。また
$r(j)\mu(M\cap(P_{r(j)}\setminus P_{r(k)}))\leq\varphi(M\cap(P_{r(j)}\setminus P_{r(k)}))\\\leq r(k)\mu(M\cap(P_{r(j)}\setminus P_{r(k)}))$
も成り立ちます。従って
$\left|\int\nolimit_{M\cap(P_{r(j)}\setminus P_{r(k)})}fd\mu-\varphi(M\cap(P_{r(j)}\setminus P_{r(k)}))\right|\\\leq(r(k)-r(j))\mu(M\cap(P_{r(j)}\setminus P_{r(k)}))\\\leq(r(k)-r(j))\mu(P_{r(j)}\setminus P_{r(k)})$
となります。
ここで $j=k-1$ として $k=1,2,\dots,n$ について両辺を加えると
$\left|\int\nolimit_{M\cap(P_c\setminus P_d)}fd\mu-\varphi(M\cap(P_c\setminus P_d))\right|\leq|\Delta|\mu(P_c\setminus P_d)$
となります。ただし
$|\Delta|=\max\{r(k)-r(k-1):k=1,2,\dots,n\}$
です。 $|\Delta|\to 0$ とすることで
$\varphi(M\cap(P_c\setminus P_d))=\int\nolimit_{M\cap(P_c\setminus P_d)}fd\mu$
が得られます。 $c\to +0,d\to\infty$ とすれば
$\varphi(M\cap P_{+0})=\int\nolimit_{M\cap P_{+0}}fd\mu$
となります。
$\varphi({P_{+0}}^c)=0$ かつ $s\in{P_{+0}}^c$ ならば $f(s)=0$ なので
$\varphi(M)=\int_M fd\mu$
となり、 $f$ が求めるものであることが示されました。特に $M=S$ とすると $\varphi(S)<\infty$ なので、 $f$ は積分可能です。
(続く)