Radon - Nikodym 微分(その 7) - Red cat の数学よもやま話

Radon - Nikodym の定理の証明(その 2)

前回定義した集合族 $\{P_r:r\in\mathbb{Q}\}$ を用いて、 $f(s)$ を
$f(s)=\left\{\begin{array}{ll}0&(s\in{P_{+0}}^c)\\\sup\{r:s\in P_r\}&(s\in P_{+0})\end{array}\right.$
と定めます。 $\bigcap_{r>0}P_r=\emptyset$ により、 $f(s)$ はいたるところ有限な値をとる関数です。
$s\in P_r\Rightarrow f(s)\geq r$
は容易にわかります。また、 $f(s)>r$ ならば $s\in P_{r(1)},r(1)>r$ なる $r(1)$ が存在しますが、 $P_{r(1)}\subset P_r$ なので
$f(s)>r\Rightarrow s\in P_r$
も成り立ちます。従って、任意の実数 $\alpha$ に対し
$\{s:f(s)\geq\alpha\}=\bigcap_{\alpha>r}P_r$
は可測集合なので、 $f(s)$ は可測関数となります。
(続く)