Fermat の最終定理に挑む(その 7)

数学・代数

以下は、あまり一般論を述べても仕方がないので具体論に入ります。

二次体 \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) の整数環

二次体 \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) の整数は -3\equiv 1\pmod{4} により
\frac{x+y\sqrt{-3}}{2} , x\equiv y\pmod{2}
の形をしていることが分かります。ここで
x+y=2a,y=b
とおくと
\frac{x+y\sqrt{-3}}{2}=\frac{(2a-b)+b\sqrt{-3}}{2}=a+b(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})
となりますが、ここで
\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}
は、よく知られている 1 の(虚)三乗根です。従って、二次体 \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) の整数環は
\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega|a,b\in\mathbb{Z}\}
であることが分かります。この環は、ある著しい性質を持っています。詳しい証明は「初等整数論講義 第2版」に譲りますが、この環は Euclid 環となることがわかるのです !
Euclid 環が単項イデアル整域となることは環論の基礎事項ですが、このことから、\mathbb{Z}[\omega] においては、有理整数の素因数分解の一意性と同等のことが成り立ちます。そこで問題になるのが

\mathbb{Z}[\omega] の「素数」とは何か ?

ということなのですが、それは次回の講釈で。