Fermat の最終定理に挑む(その 8) - Red cat の数学よもやま話

単数と同伴数

さて、一般に、可換環 R と、その元 a に対して、ab = 1 となる $b\in R$ が存在するとき、a を R の単数と言い、単数の全体を U(R) で表します。
また、 $a,b\in R$ に対して $a=\varepsilon b$ となる単数 $\varepsilon$ があるとき、a と b は互いに同伴数であると言います。

$\mathbb{Z}[\omega]$ の単数

二次体の整数環においては、 $\alpha$ が単数であることは $N(\alpha)=\pm 1$ と同値、特に、虚二次体( $m<0$ )の整数環においては $N(\alpha)=|\alpha|^2\geq 0$ なので $N(\alpha)=1$ と同値です。そこで、実際に $\mathbb{Z}[\omega]$ の単数を求めてみましょう。
$\begin{align}N(a+b\omega)&=(a+b\omega)(a+b\bar{\omega})\\&=a^2+ab(\omega+\bar{\omega})+b^2\omega\bar{\omega}&=a^2-ab+b^2\end{align}$
なので、
$N(a+b\omega)=1\Leftrightarrow a^2-ab+b^2=1$
です。この式を少しいじると
$(2a-b)^2+3b^2=4$
が出てきますので、このことから $b=0$ または $b=\pm 1$ のいずれかしかありえません。
$b=0$ のときは $a^2=1$ から $a=\pm 1$ が出てきます。また $b=\pm 1$ のときは $a(a\mp 1)=0$ から、 $a=0$ または $a=\pm 1$ が出てきますので、このことから
$\pm\omega,\pm(1+\omega)=\mp\omega^2$
が単数であることが分かります。従って
$U(\mathbb{Z}[\omega])=\{\pm 1,\pm\omega,\pm\omega^2\}$
となり、これは 1 の 6 乗根の全体になります。

$\mathbb{Z}[\omega]$ の素数

さて、 $\pi\in\mathbb{Z}[\omega]$ が「素数」であるならば、ノルム(と素因数分解の一意性)を考えれば分かるとおり、それはある有理素数の約数でなければならず、 $N(\pi)=p$ または $N(\pi)=p^2$ (p は有理素数)のいずれかです。
もし $N(\pi)=p^2$ ならば $\pi\bar{\pi}=p^2$ となるので、先に述べた素因数分解の一意性から $\pi$ は p と同伴な数になります。従って、この場合は有理素数 p がそのまま素数です。
では $N(\pi)=p$ の場合はどうでしょう。このとき $\pi=x-y\omega$ とおけば
$x^2+xy+y^2=p$
を得ますが、特に p = 3 の場合が重要です。
$x^2+x+1=(x-\omega)(x-\bar{\omega})$
において x = 1 とおくと
$3=(1-\omega)(1-\bar{\omega})$
を得るので、 $1-\omega$ は一つの素数です。ところで
$1-\bar{\omega}=1-\omega^2=(1+\omega)(1-\omega)=-\omega^2(1-\omega)$
なので
$3=-\omega^2(1-\omega)^2$
となり、3 は $(1-\omega)^2$ と同伴数になります。ここでは $1-\omega$ は特に重要になるので、これを $\lambda$ と書くことにします。
今回の話題に関しては、この $\lambda$ が最も重要なので、その他の場合については「初等整数論講義第2版」に譲ることにしますが、結論を述べると

$p=3$ のとき、 $\lambda=1-\omega$ は素数で、3 は $\lambda^2$ と同伴。
$p\equiv 1\pmod{3}$ のとき、p は互いに同伴でない二つの素数の積に分解される(例 : $7=(3+\omega)(2-\omega)$ )。
$p\equiv 2\pmod{3}$ のとき、p は $\mathbb{Z}[\omega]$ においても素数である。

が成り立ちます。
$\lambda=1-\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}=\frac{3-\sqrt{-3}}{2}=\sqrt{-3}\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}=\bar{\omega}\sqrt{-3}$
なので、 $\lambda$ は $\sqrt{-3}$ と同伴であることに注意しましょう。