様々な収束の概念(その 3) - Red cat の数学よもやま話

上極限と下極限

一般に、実数列 $\{a_n\}$ が与えられたとき、これが必ず収束するとは限りません。ところが

$b_n=\sup\{a_k|k=1,\ldots,n\}$
$c_n=\inf\{a_k|k=1,\ldots,n\}$

とおくと、それぞれ

$b_1\leq b_2\leq\cdots\leq b_n\leq\cdots$
$c_1\geq c_2\geq\cdots\geq c_n\geq\cdots$

となりますので、( $\pm\infty$ となる場合も込めて) $\lim\limits_{n\to\infty}b_n$ と $\lim\limits_{n\to\infty}c_n$ は存在することがわかります。このとき $\lim\limits_{n\to\infty}b_n$ を $\{a_n\}$ の上極限、 $\lim\limits_{n\to\infty}c_n$ を $\{a_n\}$ の下極限 と言い、それぞれ $\overline{\lim}\limits_{n\to\infty}a_n,\underline{\lim}\limits_{n\to\infty}a_n$ で表します。このとき大事なのは

$\overline{\lim}\limits_{n\to\infty}a_n=\underline{\lim}\limits_{n\to\infty}a_n=a$ ならば $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$

が成り立つことです。

有向列と極限

$(A,\prec)$ を順序集合とします。A が
$x,y\in A\Rightarrow\exists c(x\prec c,y\prec c)$
を満たすとき、A は有向集合であると言います。また、A の部分集合 B が
$a\in A\Rightarrow\exists b\in B(a\prec b)$
を満たすとき、B を A の共終な部分集合と言います。
さて、集合 M と有向集合 A が与えられたとき、 $a\in A$ に対して $x_a\in M$ が定まっているならば、 $\{x_a|a\in A\}\subset M$ を M の有向列 と言います。さらに $B\subset A$ のとき $\{x_b|b\in B\}$ を $\{x_a\}$ の部分列と言い、B が A の共終な部分集合ならば特に共終な部分列であると言います。このとき、M が順序集合で完備(= M の空でない部分集合が必ず上限と下限を持つ)ならば、実数列のときと全く同じように上極限と下極限が定義でき、それらが一致するときに有向列の極限が定義できます。

帰納的極限と射影的極限

さて、集合からなる有向列 $\{N_a|a\in A\}$ を考えましょう。
$a\prec b$ のときに写像 $f_{a,b}:N_a\to N_b$ が対応し、

$f_{a,a}:N_a\to N_a$ は恒等写像
$a\prec b\prec c\Rightarrow f_{b,c}\circ f_{a,b}=f_{a,c}$

を満たしているとき、 $(\{N_a|a\in A\};f_{a,b})$ を帰納系と言います。
さて、帰納系 $(\{N_a|a\in A\};f_{a,b})$ に対して、次のようにしてある種の極限が定義できます。
$M=\bigcup_{a\in A}N_a\times\{a\}$
とおきます。ここに同値関係を
$(x,a)\sim(y,b)\stackrel{\rm def}{\Leftrightarrow}\exists c\in A(a\prec c,b\prec c,f_{a,c}(x)=f_{b,c}(y))$
で定義します。これが本当に同値関係であることを見るために、一番示すのが難しい推移律を示します。
$(x,a)\sim(y,b),(y,b)\sim(z,c)$ とすると、 $d,e\in A$ で

$a\prec d,b\prec d,f_{a,d}(x)=f_{b,d}(y)$
$b\prec e,c\prec e,f_{b,e}(y)=f_{c,e}(z)$

を満たすものが存在します。ところで A は有向集合なので $d\prec m,e\prec m$ を満たすものが存在します。このとき $a\prec d\prec m,c\prec e\prec m$ で
$\begin{align}f_{a,m}(x)&=f_{d,m}(f_{a,d}(x))\\&=f_{d,m}(f_{b,d}(y))\\&=f_{b,m}(y)\\&=f_{e,m}(f_{b,e}(y))\\&=f_{e,m}(f_{c,e}(z))=f_{c,m}(z)\end{align}$
となり、 $(x,a)\sim(z,c)$ が示されます。この同値類で M を分類した集合 $M/\sim$ を B とおきます。
さらに、各 $N_a$ から B への写像 $g_a$ を
$g_a(x)=\overline{(x,a)}$ ((x,a) を含む同値類)
で定義します。また $g=\{g_a|a\in A\}$ とします。このようにして作った (B,g) のことを $(\{N_a|a\in A\};f_{a,b})$ の帰納的極限と言い、 $\underset{\rightarrow}{\lim}N_a$ で表します。この双対概念として、射影系および射影的極限 $\underset{\leftarrow}{\lim}N_a$ も定義できます。