様々な収束の概念(その 2) - Red cat の数学よもやま話

$(S,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間とします。S 上の実(または複素)数値関数の列 $f_1,f_2,\ldots$ と、ある f に対して、それぞれ以下のような収束の概念が定義できます。

ほとんどいたるところ収束

$A=\{s\in S|f_n(s)\not\to f(s)(n\to\infty)\}$
の測度が 0、すなわち $\mu(A)=0$ のとき、 $\{f_n\}$ は f にほとんどいたるところ収束すると言います。ルベーグ積分論では頻繁に使う収束の概念です。特に $\mu(S)=1$ となる測度空間のことを確率空間と言いますが、確率空間においては「概収束」という言葉を使います。

測度収束(漸近収束)

任意の $\delta>0$ に対して $\lim\limits_{n\to\infty}\mu\{|f_n-f|\geq\delta\}=0$
が成り立つとき、 $\{f_n\}$ は f に測度収束(または漸近収束)すると言います。確率空間においては「測度収束」の代わりに「確率収束」という言葉を使います。
これらの収束概念は、主に確率論で強力な力を発揮します。特に大事な性質として「概収束すれば確率収束する」というものがあります。