コンパクト化された数直線 - Red cat の数学よもやま話

数直線 $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ に対して、次のようにして新しい「数直線」を作ることが出来ます。

$\infty$ の基本近傍系を $\{x\in\mathbb{R}|x>R\}\cup\{\infty\}$ (ただし $R>0$ )と定める
$-\infty$ の基本近傍系を $\{x\in\mathbb{R}|x<-R\}\cup\{-\infty\}$ (ただし $R>0$ )と定める

このようにすると、 $(-\infty,\infty)$ に $\infty$ と $-\infty$ を付け加えた新しい位相空間が出来ます。これを $[-\infty,\infty]$ と表します。
この新しい「数直線」のいいところは、元の数直線の性質を保ちながら、全体としてコンパクトになっているということです。測度論などでは、可測関数の値として $\pm\infty$ を取ることを許す場合が多いので、この新しい「数直線」を用いて
$f:S\to[-\infty,\infty]$
などと表したりします。