臭いの速度は無限大 - Red cat の数学よもやま話

偏微分方程式の一つである熱方程式
$\partial_t u=\triangle u$ on $\mathbb{R}^n\times(0,\infty)$
$u(x,0)=\phi(x)$
ですが、実は臭いの拡散についても同じ方程式が成り立つことが知られています。そして、熱方程式の特徴は、初期値として
$\phi(x)>0(|x|<1),=0(|x|\geq 1)$
を満たすような φ を取ると
$u(x,t)>0$ on $\mathbb{R}^n\times(0,\infty)$
が成り立つところにあります。これは、同じく偏微分方程式として有名な波動方程式とは全く対照的です。
この数式が意味するところは「熱の伝わる速度は無限大」ということです。臭いの拡散についても、同じ熱方程式で記述できるので、当然「臭いの伝わる速度も無限大」と言うわけです。
おならをした瞬間に誰かに「臭い !」と言われて、「そんなの嘘だろう」と思ったあなた、嘘じゃないんですよ !!