剛体の重心 - Red cat の数学よもやま話

ある領域 D ⊂ $\mathbb{R}^n$ 上の密度分布 μ が与えられたとき、D の重心の座標は
$\left(\int_D x_1 d\mu/\int_D d\mu,\cdots,\int_D x_n d\mu/\int_D d\mu\right)$
で与えられます。特に密度が一様の場合は
$\left(\int_D x_1 dx/\int_D dx,\cdots,\int_D x_n dx/\int_D dx\right)$
で与えられます。さて、先日雑談掲示板に質問のあった

密度が一様で半径 r、中心角 2α の円弧の重心は円の中心から $r(\frac{\sin\alpha}{\alpha})$ の距離であることを示せ。

について考えて見ましょう。円弧は領域ではないので、ちょっと工夫します。
$D=\{(x,y)|r\leq\sqrt{x^2+y^2}\leq r+\Delta r,-(\tan\alpha)x\leq y\leq(\tan\alpha)x\}$
とおくと、D の重心の座標は
$\left(\iint_D xdxdy/\iint_D dxdy,\iint_D ydxdy/\iint_D dxdy\right)$
で与えられます。このとき、重心の円の中心からの距離を知るには、x 座標がわかれば十分です*1。x 座標は極座標変換を用いて求めます。極座標変換によって D は
$E=\{(t,\theta)|r\leq t\leq r+\Delta r,-\alpha\leq\theta\leq\alpha\}$
に移るので
$\begin{align}\iint_D xdxdy/\iint_D dxdy&=(\int_r^{r+\Delta r} t^2 dt\int_{-\alpha}^\alpha\cos\theta d\theta)/(\int_r^{r+\Delta r} tdt\int_{-\alpha}^\alpha d\theta)\\&=\frac{2\{(r+\Delta r)^3-r^3\}}{3\{(r+\Delta r)^2-r^2\}}(\frac{\sin\alpha}{\alpha})\\&=\frac{2(3r^2+3r\Delta r+{\Delta r}^2)}{3(2r+\Delta r)}(\frac{\sin\alpha}{\alpha})\end{align}$
となります。ここで Δr → 0 とすれば、最後の式は $r(\frac{\sin\alpha}{\alpha})$ に収束しますので、求める結果が得られたことになります。このように、曲がった物体の重心は、その物体の外部にあることがしばしばあるのです。

*1:D は x 軸に関して対称な領域なので、y 座標は 0 になります。