距離空間から位相空間へ(その 2)

数学・解析

開集合の性質

距離空間 X の開集合には次の著しい(?)性質があります。

  1. \emptyset,X は開集合
  2. O_\lambda(\lambda\in\Lambda) が開集合ならば \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda も開集合
  3. O_1,O_2 が開集合ならば O_1\cap O_2 も開集合

\emptyset が開集合なのは約束事とも言えますが、定義からも示せます。残る二つの性質を示すのは難しくないでしょう。
閉集合が開集合の補集合であったことを考えれば、次の性質も自然と成り立つことが分かるはずです。

  1. \emptyset,X は閉集合
  2. A_\lambda(\lambda\in\Lambda) が閉集合ならば \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda も閉集合
  3. A_1,A_2 が閉集合ならば A_1\cup A_2 も閉集合

内部と閉包と境界

距離空間 X の部分集合 M について (\exists\varepsilon>0)(U(a;\varepsilon)\subset M) が成り立つ a\in M の全体を M^\circ で表し、M の内部(開核) と言います。また、(\forall\varepsilon>0)(U(a;\varepsilon)\cap M\neq\emptyset) が成り立つ a を M の触点といい、触点の全体を \bar{M} で表して M の閉包と言います。
内部には以下の性質があります。

  1. O が開集合 \Leftrightarrow O^\circ=O、とくに X^\circ=X.
  2. M^{\circ\circ}=M^\circ、特に M^\circ は開集合
  3. M\subset N ならば M^\circ\subset N^\circ
  4. (M\cap N)^\circ=M^\circ\cap N^\circ

同様に、閉包にも以下の性質があります。

  1. A が閉集合 \Leftrightarrow\bar{A}=A、特に \bar{\emptyset}=\emptyset.
  2. \bar{\bar{M}}=\bar{M}、特に \bar{M} は閉集合
  3. M\subset N ならば \bar{M}\subset\bar{N}
  4. \overline{M\cup N}=\bar{M}\cup\bar{N}

また、非常に当り前のことなのですが
M^\circ\subset M\subset\bar{M}
が成り立ちます。
\bar{M}-M^\circ を \part M で表し、M の境界と言います。