イデアル類 - Red cat の数学よもやま話

$\mathbb{Q}$ の有限次代数拡大体 L のことを代数体と言うが、このとき、L の中で $\mathbb{Z}$ の整閉包 R を考えると、これは Dedekind 環となることが知られている。これを L の整数環と言う。
L の整数環 R の二つのイデアル I , J について
$I=\gamma J(\gamma\in L,\gamma\neq 0)$
が成り立つとき $I\sim J$ と定義する。これは明らかに同値関係である。この同値関係による R のイデアルの分類のことをイデアル類といい、I を含むイデアル類を $cl(I)$ で表す。特に零イデアルでない単項イデアル同士は常に同値である。これを特に単項類といい、1 で表す。
零イデアル自身は一つのイデアル類であるが、これを除くイデアル類の全体の集合を $Cl(L)$ で表し*1、その元の個数(濃度)を L の類数という。類数を表すのには h が良く使われる。
以上の定義から明らかに
$h=1\Leftrightarrow R$ が PID

*1:実はこれは群になることが示せ、イデアル類群と言います