ε - δ 論法(その 8) - Red cat の数学よもやま話

さて、以前に紹介した
$a_n=\left\{\begin{array}1/n & (n\neq 10^m)\\1 & (n=10^m)\end{array}\right.$
について、この数列が 0 にも 1 にも収束しないことは、簡単に見て取ることができます。実際 $|a_n|\geq 1$ を満たす $n\in\mathbb{N}$ が無限個( $n=10^m$ )存在するので 0 には収束しませんし、同じく $|a_n-1|\geq\frac12$ となる $n\in\mathbb{N}$ も無限個( $n\neq 10^m$ )存在するので 1 にも収束しません。

しかしながら、これだけでは、この数列がいかなる値にも収束しないことの証明にはなりません。もしかしたら、すぐにはわからないだけで、何かの値に収束するかもしれないからです。そこで、一つの重要な定理が必要になります。まず、準備として、数列の部分列について定義しておきましょう。

部分列

写像 $n:\mathbb{N}\ni k\rightarrow n(k)\in\mathbb{N}$ で $k_1<k_2\Rightarrow n(k_1)<n(k_2)$ を満たすものがあったとします(このような写像は必ず単射になります)。このとき、元となる数列 $\{a_n\}$ に対して $\{a_{n(k)}\}$ のことを部分列と言います。

定理

数列 $\{a_n\}$ がある値に収束するとして、 $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ とする。このとき、 $\{a_n\}$ の任意の部分列 $\{a_{n(k)}\}$ も収束して $\lim_{k\to\infty}a_{n(k)}=a$ である。
(証明)
$\lim_{n\to\infty}a_n=a$ により、任意の $\varepsilon>0$ に対して $N\in\mathbb{N}$ が存在して
$n\geq N\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon$
となる。 $n(k)$ の単調増加性により $n(k)\geq k$ であるから、 $k\geq N$ ならば $n(k)\geq N$ が成り立つ。したがって
$k\geq N\Rightarrow|a_{n(k)}-a|<\varepsilon$
が成り立つから、定義により $\lim_{k\to\infty}a_{n(k)}=a$ である。

このことを利用すると、冒頭の数列はいかなる値にも収束しないことがわかります。以前にもお話ししたように、この数列は部分列によって収束先が違うからです。ちなみに、この数列は有界、すなわち $0<a_n\leq 1$ が常に成り立っているので、発散することもありません。このように、収束も発散もしない数列というものも存在するのです。