ε - δ 論法(その 7) - Red cat の数学よもやま話

収束しないことの定義

数列が(ある値に)収束することの定義の否定を考えてみましょう。まず、 $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ の定義を、論理式で書いてみます。

$(\forall\varepsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(n\geq N\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon)$

この論理式を否定すれば、「収束しない」の定義が出来上がります。

$\neg(\forall\varepsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(n\geq N\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon)\\\Leftrightarrow(\exists\varepsilon>0)\neg(\exists N\in\mathbb{N})(n\geq N\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon)\\\Leftrightarrow(\exists\varepsilon>0)(\forall N\in\mathbb{N})\neg(n\geq N\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon)\\\Leftrightarrow(\exists\varepsilon>0)(\forall N\in\mathbb{N})(n\geq N\wedge|a_n-a|\geq\varepsilon)$

この最後の論理式を読み下すと

「ある $\varepsilon>0$ が存在して、無限個の $n\in\mathbb{N}$ に対して $|a_n-a|\geq\varepsilon$ が成り立つ。」

となり、これが収束しないことの定義となります。