分数回の微積分 !?(前編) - Red cat の数学よもやま話

今回は、分数回の微積分と呼ぶにふさわしい作用素を紹介します。

使用する函数空間

$-\infty<a<b\leq\infty$ とします。そして、今後使用する二つの函数空間を定義しておきます。
(1) $L^1_{loc}[a,b)$
$u\in L^1_{loc}[a,b)$ であるとは、任意の $c\in[a,b)$ に対し $\int_a^c|u(x)|dx<\infty$ が成り立つこととします。
(2) $AC_{loc}[a,b)$
$a\leq c<b$ なる任意の $c$ に対して、 $[a,c)$ 上絶対連続となる函数の空間です。Radon-Nikodym の定理により、 $u\in AC_{loc}[a,b)$ であるとは $u'\in L^1_{loc}[a,b)$ で
$u(x)=u(a)+\int_a^xu'(y)dy(a\leq x<b)$
となるものが存在することと同値です。

Riemann-Liouville 積分 作用素

$u\in L^1_{loc}[a,b)$ と $\alpha>0$ に対し
$I_a^\alpha u(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x\frac{u(y)}{(x-y)^{1-\alpha}}dy(a<x<b)$
と定義します。この $I_a^\alpha$ をRiemann-Liouville 積分作用素と言います。明らかに
$I_a^1 u(x)=\int_a^xu(y)dy(a<x<b)$
ですから、 $I_a^1$ は $a$ を基点とする積分作用素です。また、簡単な計算で
$\begin{align}(I_a^1)^n u(x)&=\frac{1}{(n-1)!}\int_a^x (x-y)^{n-1}u(y)dy\\&=I_a^n u(x)\end{align}$
がわかるので、 $I_a^n$ は $n$ 回積分と呼ぶにふさわしい作用素であることがわかります。従って、 $I_a^\alpha$ は $\alpha$ 回積分と呼ぶにふさわしそうな気がしてきます。実際に、以下の定理(証明略)が成り立つことから、それは正当化されます。

定理

$u\in L^1_{loc}[a,b)$ ならば任意の $\alpha>0$ に対して $I_a^\alpha u\in L^1_{loc}[a,b)$ であり、任意の $\alpha,\beta>0$ に対して $I_a^\alpha I_a^\beta u=I_a^{\alpha+\beta}u$ が成り立つ。

以上のことから、Riemann-Liouville 積分作用素は、実際に「分数回積分」と言われることもあります。