公理的集合論における自然数の存在(その 13・最終回)

有限集合の要素の個数と自然数の演算

さて、 $a,b$ が有限集合で、 $|a|=m,|b|=n$ であるとき、実は以下のことが成り立つことが示されます。

$|a\cup b|\leq m+n$ 、等号は $a\cap b=\emptyset$ のとき成り立つ。
$|a\times b|=mn$
$|a^b|=m^n$

証明は、いずれも後で紹介する参考書に略解が載っていますので、そちらを参考にしてください。かくして、自然数の演算と集合の要素の個数との整合性が確かめられます。

自然数の演算は二項演算である

一般に $a,b,c$ を集合とするとき $(a^b)^c\approx a^{b\times c}$ が成り立ちます。我々は、与えられた $a\in\omega$ に対して和 $\alpha_a\in\omega^\omega$ と積 $\mu_a\in\omega^\omega$ を定義しました。これは $\omega$ から $\omega^\omega$ への写像を与えたことと同じです。従って、 $(\omega^\omega)^\omega\approx\omega^{\omega\times\omega}$ により、結局我々は