Fourier 級数で二つの zeta を求める

数学・解析

f(x)=(x-2\pi[\frac{x+\pi}{2\pi}])^2
とおきます。これは周期 2\pi の区分的に滑らかな函数なので Fourier 級数展開が出来ます。その結果は
f(x)=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^\infty\frac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx
となります。特に |x|\le\pi のとき
\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^\infty\frac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx=x^2
となります。ここで x=\pi を代入すると
\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\pi^2
となるので、整理して
\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
を得ます。
同じ Fourier 級数に、今度は Parseval の等式を適用すると
\frac{2\pi^4}{9}+16\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}=\frac{2\pi^4}{5}
を得るので、整理して
\zeta(4)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}
を得ます。
同じ式から二つの zeta を求めることができる、ちょっとおいしい(?)話でした。