続・1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + …(前編) - Red cat の数学よもやま話

以前、交代級数
$1-\frac12+\frac14-\frac15+\frac17-\frac18+\cdots$
の和を求めてみましたが、これに別な解法がありました。
$|x|<1$ のとき
$\frac{1}{1+x+x^2}=1-x+x^3-x^4+\cdots=\sum_{n=0}^\infty(x^{3n}-x^{3n+1})$
を利用します。これを 0 から $x (0<x<1)$ まで項別積分すると
$\int_0^x\frac{dt}{1+t+t^2}=\sum_{n=0}^\infty(\frac{x^{3n+1}}{3n+1}-\frac{x^{3n+2}}{3n+2})$
となります。右辺の級数は Abel の連続性定理により [0,1] で一様収束し、左辺を f(x) とおくとき
$\lim_{x\to 1-0}f(x)=\sum_{n=0}^\infty(\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+2})$
となります。ここに
$\begin{align}\lim_{x\to 1-0}f(x)&=\int_0^1\frac{dx}{1+x+x^2}\\&=\int_0^1\frac{dx}{(x+\frac12)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\\&=[\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})]_0^1\\&=\frac{2}{\sqrt{3}}(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})\\&=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\end{align}$
となります。もう一つ解法があるのですが、それはまた後日。