1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + …(前編) - Red cat の数学よもやま話

$1-\frac12+\frac14-\frac15+\frac17-\frac18+\cdots$
という、ちょうど分母が 3 の倍数であるところだけが抜けた交代級数は収束します。この値を、「オイラーの無限解析」に沿いつつ、なおかつ現代風に攻めてみます。
$\begin{align}\cos\frac{y}{2}+\cot\frac{a}{2}\sin\frac{y}{2}&=\frac{\sin\frac{y}{2}\cos\frac{a}{2}+\cos\frac{y}{2}\sin\frac{a}{2}}{\sin\frac{a}{2}}\\&=\frac{\sin\frac{y+a}{2}}{\sin\frac{a}{2}}\end{align}$
において、分母分子に sin の無限積展開
$\sin z=z\prod_{j=1}^\infty(1-\frac{z}{j\pi})(1+\frac{z}{j\pi})$
を適用すると
$\begin{align}\frac{\sin\frac{y+a}{2}}{\sin\frac{a}{2}}&=\frac{\frac{y+a}{2}\prod_{j=1}^\infty(1-\frac{y+a}{2j\pi})(1+\frac{y+a}{2j\pi})}{\frac{a}{2}\prod_{j=1}^\infty(1-\frac{a}{2j\pi})(1+\frac{a}{2j\pi})}\\&=(1+\frac{y}{a})\prod_{j=1}^\infty(1-\frac{y}{2j\pi-a})(1+\frac{y}{2j\pi+a})\end{align}$
と表せる。そこで
$y=\frac{\pi x}{n},a=\frac{m\pi}{n},\tan\frac{m\pi}{2n}=k$
と置いて $\cot\frac{a}{2}=\frac1k$ を満たすようにしておくと、
$\cos\frac{\pi x}{2n}+\frac1k\sin\frac{\pi x}{2n}$
の級数展開と無限積展開の比較として
$\sum_{i=0}^\infty(-1)^i\{\frac{\pi^{2i}}{(4i)!!n^{2i}}x^{2i}+\frac{\pi^{2i+1}}{(4i+2)!!n^{2i+1}k}x^{2i+1}\}$ … (1)
と
$(1+\frac{x}{m})\prod_{j=1}^\infty(1-\frac{x}{2jn-m})(1+\frac{x}{2jn+m})$ … (2)
が等しいことを得る。(続く)