1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + …(後編) - Red cat の数学よもやま話

式 (1) と式 (2) の x の係数を比較して
$\frac1m-\frac{1}{2n-m}+\frac{1}{2n+m}-\frac{1}{4n-m}+\frac{1}{4n+m}-\cdots=\frac{\pi}{2nk}$
を得る。ただし $k=\tan\frac{m\pi}{2n}$ 。
ここで $m=2,n=3$ とおくと
$k=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$
故
$\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{10}+\frac{1}{14}-\cdots=\frac{\pi}{6\sqrt{3}}$
を得るので、両辺を 2 倍して
$1-\frac12+\frac14-\frac15+\frac17-\cdots=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$
を得る。ちなみに $m=1,n=2$ とおけば
$k=\tan\frac{\pi}{4}=1$
故
$1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots=\frac{\pi}{4}$
という、よく知られた Leibniz の級数を得る。
…とまあ、ちょっとした級数の計算を今回はやってみたわけですが、こういうのが数検 1 級の問題に出るかも知れないわけです。これって、解き方を知らないと絶対出来ないですよねぇ。